鉛直投げ上げって何？公式から見えてくるものとは？
今回は鉛直投げ上げについて勉強します。
鉛直投げ上げとは何か、考え方や公式を紹介していきます。
最後は依然学んだ自由落下と織り交ぜて例題を見ていきます。
鉛直投げ上げは1軸上を運動するもののうち最後の１つになります。
始めに話してしまうと、鉛直投げ下ろしとある程度似たものになります。
基本的な考え方は一緒なんですよね。
この鉛直投げ上げは今後勉強する物理運動で利用する大切な知識となりますので、しっかりと学んでいきましょう。
https://sabodaru.jp.net/linear-motion-of-uniform-acceleratio...
鉛直投げ上げとは
鉛直投げ上げとはどういった運動でしょうか。
鉛直投げ上げとは鉛直上向きに物体を投げ上げる運動のことです。
投げ上げられた物体は徐々に速度を落とし、ある高さで一瞬静止したのち、あとは重力だけで落下します。
重力以外の力は一切加えてはいけません。
もちろん空気抵抗や浮力も例外ではありません。
これらは自由落下、鉛直投げ下ろしのときと同じ条件です。
1人キャッチボールで上に投げる行為がこれにあたります。
常に真上にボールを投げることなどほぼ不可能なので厳密には鉛直投げ上げではないんですけどね。
床に寝っ転がりながらポップコーンとかを天井に向けて投げて顔を動かさずに口の中に入れるゲームみたいなのを一人でやってたりしませんでしたか。
あれも鉛直投げ上げに近いものになります。
数十回やらないと口元には来ないのでなかなか難しいし、たいていは変なところ行くか、いいところ来た！と思ったら鼻先にあたるとかそんな感じですよね。
鉛直投げ上げの特徴
鉛直投げ上げの特徴として以下が挙げられます。
- はじめ（$t=0$）鉛直上向きに$v_0>0(m/s)$である
- 物体の大小や重さにかかわらず加速度は一定である。
- 加速度は鉛直下向きでその大きさは$9.8(m/s^2)$である
基本的には自由落下、鉛直投げ下ろしと同じです。
唯一自由落下と異なる点は、$t=0$における物体の速さが鉛直上向きに$v_0>0(m/s)$である点です。
等加速度運動における鉛直投げ上げの考え方
鉛直投げ上げの特徴を物理学的に表現するとどうなるでしょうか。
自由落下、鉛直投げ下ろしと比較して見てみましょう。
| 鉛直投げ上げの特徴 | 物理学的な表現 | 自由落下の
物理学的な表現 |
鉛直投げ下ろしの
物理学的な表現 |
| はじめ（$t=0$）鉛直上向きに$v_0>0(m/s)$である | 鉛直上向きを正として$$v_0>0$$ | 初速度$$v_0=0(m/s)$$ | 鉛直上向きを正として$$v_0<0$$ |
| 物体の大小や重さにかかわらず加速度は一定である | 重力加速度を$g$として鉛直上向きを正とすれば、
$$g=-9.8(m/s^2)$$ |
重力加速度を$g$として鉛直上向きを正とすれば、
$$g=-9.8(m/s^2)$$ |
重力加速度を$g$として鉛直上向きを正とすれば、
$$g=-9.8(m/s^2)$$ |
| 加速度は鉛直下向きでその大きさは$9.8(m/s^2)$である |
初速度以外は同じですね。
自由落下では$v_0=0(m/s)$、鉛直投げ下ろしでは$v_0<0(m/s)$、残りの$v_0>0(m/s)$が鉛直投げ上げになります。
鉛直投げ上げの公式
それでは公式のほうに移っていきましょう。
鉛直上向きを正として重力加速度を$g=-9.8(m/s^2)$、初速度$v_0(>0)$とすると、
$$v=v_0+gt$$
$$x=v_0t+\frac{1}{2}gt^2$$
$$v^2-v_0^2=2gx$$
自由落下、鉛直投げ下ろしと同じようにこれらも等加速度運動の公式からすぐに導けるので覚える必要なんて全くありません。
ということで、導出してみます。
1つ目の公式
$$v=v_0+at=v_0+gt$$
2つ目の公式
$$x=v_0t+\frac{1}{2}at^2=v_0t+\frac{1}{2}gt^2$$
3つ目の公式
$$v^2-v_0^2=2ax=2gx$$
気づいた人もいると思いますが、式そのものは鉛直投げ下ろしとほぼ一緒です。
もちろん$v_0=0$を代入すれば自由落下の公式なります。
鉛直投げ上げと自由落下
今回は鉛直投げ上げと自由落下を組み合わせてみます。
どこまでも落ちれる系
鉛直投げ上げと自由落下を同時に行い同じ高さになる時間とその高さを求めてみたいと思います。
物体Bの高さを原点に2物体が$l$だけ離れているとして、同じ高さになるまでの時間とその高さを求めてみます。
それぞれの座標は
$$y_A=-l+v_0t+\frac{1}{2}gt^2$$
$$y_B=\frac{1}{2}gt^2 ･･･①$$
同じ高さになるとき、
$$-l+v_0t+\frac{1}{2}gt^2=\frac{1}{2}gt^2$$
$$-l+v_0t=0$$
$$t=\frac{l}{v_0}$$
これを$y_B$に代入して
$$y_B=\frac{1}{2}g(\frac{l}{v_0})^2$$
$$y_B=\frac{gl^2}{2v_0^2}$$
これで時間と高さが求まりました。
計算の方法は鉛直投げ下ろしと自由落下の組み合わせとさほど変わりません。
もちろん同じ高さになる時間と高さを初期条件として与えれば距離と初速度をだすこともできます。
よって鉛直投げ上げと自由落下の組み合わせもパターンがほぼ決まっているので、目新しい問題になることはほぼないです。
またこの系では同時に投げるならば同じ高さにならないということはあり得ません。
それを証明してみましょう。
同じ高さにならないということは物体Bの座標が常に物体Aより上にあるので、
$$y_B>y_A$$
$$\frac{1}{2}gt^2>-l+v_0t+\frac{1}{2}gt^2$$
$$v_0<\frac{l}{t} …②$$
ここで常に座標が上であるためには$t$→$∞$であるはずなので、極限をとると
$$v_0<0$$
となります。
しかし鉛直投げ上げではこれはあり得ません。
鉛直投げ上げの条件として$v_0>0$は必須だからです。
よって必ず同じ高さになるときがあります。
もちろん永遠と下に落ち続けられればの話です。
床が存在し、落ちる高さに限界がある系
では途中に床があって、そこに到達する前に同じ高さにならない場合を考えてみます。
床の位置は原点から$m(>0)$だけ離れているとします。
床に到達する時間は$m$を用いると、式①より
$$-m＝\frac{1}{2}gt^2$$
$$t=\sqrt{-\frac{2m}{g}}$$
ここでルートの中にｰ（マイナス）があっておかしいと感じるかもしれませんが、重力加速度$g<0$なのでルートの中身は+（プラス）の値になってます。
これを②式に代入して、
$$v_0<\frac{l}{\sqrt{-\frac{2m}{g}}}$$
$$v_0<\sqrt{-\frac{g}{2m}}l$$
よってこの速度を超えない限りは、床に到達するまでに物体Bは追い越すことができません。
当然$m$を大きくすればするほど（床をどんどん遠ざければ）、より小さな速度にしないとすぐ追いつかれてしまうわけです。
ちなみに、鉛直投げ上げと鉛直投げ下ろしの組み合わせも当然あります。
基本的には自由落下のときと同じなので難しいものではありません。
計算は少し煩雑になるかもしれませんが、考え方はほぼ同じなので一歩ずつひも解いていけば解けるはずです。
まとめ
鉛直投げ上げを理解できましたか。
自由落下、鉛直投げ下ろし、鉛直投げ上げと学んできましたが、すべて３つの式で済むことが理解できたと思います。
運動に固有の条件を代入してあげることで等加速度運動の公式から導出できるので、覚えるべきは等加速度運動の公式の３つだけでいいことが分かったと思います。
自由落下、鉛直投げ下ろしと考え方は同じですので、ちょっとよく分からないという方はまず自由落下からもう一度振り返ってみるとよいと思います。
そして鉛直投げ上げと自由落下の組み合わせでも基本的にはパターンが決まっているので、苦手な人はまずパターンの把握から頑張ってみましょう。